Комплексные числа
Множество комплексных чисел и операции на нем.
Множеством комплексных чисел $\mathbb{C}$ называется множество всевозможных упорядоченных пар действительных чисел $(a,b)$ с введёнными на нём операциями комплексного сложения и комплексного умножения:
$$(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)$$
$$(a,b)*(c,d) = (ac-bd, bc+ad)$$
Комплексное число $i = (0, 1)$ называется комплексной единицей.
Заметим, что $(a,0) + (b,0) = (a+b, 0)$ и $(a,0)*(b,0) = (a*b,0)$. Комплексные числа вида $(a,0)$ будем рассматривать как действительные числа $a$.
Наконец заметим, что $(a,b) = (a,0)*(1,0) + (b,0)*(0,1)$. Значит, в новых обозначениях - $$(a,b) = a + bi$$
Будем использовать такую запись дальше, не забывая что каждое комплексное число можно рассматривать как упорядоченную пару действительных чисел.
Операции сложения и умножения над множеством комплексных чисел обладают свойствами:
- $(z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)$
- $ z + 0 = z $
- $ ∃(−z) : z + (−z) = 0 $
- $ z_1 + z_2 = z_2 + z_1 $
- $ (z_1z_2)z_3 = z_1(z_2z_3) $
- $ z ·1 = z $
- $ z \neq 0 \implies ∃z^{−1} : zz^{−1} = 1 $
- $ z_1z_2 = z_2z_1 $
- $ (z_1 + z_2)z_3 = z_1z_3 + z_2z_3 $
Все эти свойства последовательно доказываются с использованием определения комплексного сложения и умножения и аксиом сложения и умножения для действительных чисел. Например, коммутативность сложения - $ (a+bi) + (c+di) = a+c + (b+d)*i = c+a + (d+b)*i = (c+di) + (a+ bi)$.
Отметим только, как вычисляются $z^{-1}$ и $-z$:
$$-(a+bi) = -a-bi$$
$$(a+bi)^{-1} = (a-bi)/(a^2+b^2)$$
Если вы читаете этот текст ближе к концу семестра, можете сформулировать предыдущую теорему иначе -- множество комплексных чисел с операциями сложения и умножения образуют поле.
Действительная и мнимая части комплексного числа. Комплексно-сопряженное число. Модуль и аргумент комплексного числа.
Если $z = a+bi \in \mathbb{C}$, то $a$ называется действительной частью $z$, а $b$ называется мнимой частью $z$. Введём два
отображения для получения этих частей:
$$Re(a+bi) = a; Re:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R} $$
$$Im(a+bi) = b; Im:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R} $$
Число $\bar{z}$ называется комплексно-сопряженным к числу $z = a + bi$, если $\bar{z} = a - bi$.
$(a + bi)*(a - bi) = a^2 + b^2$, так что произведение $z*\bar{z}$ всегда принадлежит $\mathbb{R}$. $z+\bar{z}$ тоже.
Модулем комплексного числа $z = a + bi$ называется действительное число $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$
Аргументом комплексного числа $z = a + bi$ называется угол между вектором $(a,b)$ и действительной осью (вектором $(1,0)$)
Тригонометрическая форма комплексного числа. Ее применение для умножения, деления, возведения в степень и извлечения корней из комплексных чисел. Формула Муавра.
Комплексное число $z$ можно записать в тригонометрической форме:
$$z = r*(cos(\varphi) + i*sin(\varphi))$$
где $r$ - модуль $z$, и $\varphi$ - аргумент $z$
Верны следующие свойства модуля и аргумента произведения комплексных чисел:
$$|z_1*z_2| = |z_1|*|z_2|$$
$$Arg(z_1*z_2) = Arg(z_1)+Arg(z_2)$$
$z_1*z_2 = (r_1*(cos(\varphi_1) + i*sin(\varphi_1)))*(r_2*(cos(\varphi_2) + i*sin(\varphi_2)))$
$=r_1*r_2*(cos(\varphi_1)*cos(\varphi_2) - sin(\varphi_1)*sin(\varphi_2) + (cos(\varphi_1)*sin(\varphi_2)+ sin(\varphi_1)*cos(\varphi_2))*i)$ $= r_1*r_2*(cos(\varphi_1+\varphi_2) + i*sin(\varphi_1+\varphi_2))$
Итак, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Формула Муавра
$$z^n = r^n(cos(n\varphi) + i*sin(n\varphi))$$
При делении комплексных чисел модуль и аргумент изменяются по формулам:
$$|z_1/z_2| = |z_1|/|z_2|$$
$$Arg(z_1/z_2) = Arg(z_1)-Arg(z_2)$$
Корнем $n$-ой степени из комплексного числа $z$, называется такое комплексное число $a$, что $a^n = z$
Комплексное число $z \ne 0$ имеет ровно $n$ корней $n$-ой степени. Корни из $z$ находятся на окружности радиуса $\sqrt{|z|}$ и делят её на $n$ равных частей.
Под $\sqrt{a}$ подразумевается арифметический корень из неотрицательного действительного числа $a$.
Утверждение следует из предыдущего
определения и
формулы Муавра. Действительно, если $a^n = z$ и $a = r * (cos(\varphi)+i*sin(\varphi))$, то $z = r^n(cos(n\varphi) + i*sin(n\varphi))$. Все корни $n-$ой степени из $z$ должны иметь одинаковый модуль $r$ (находиться на окружности радиуса $r$).
Для комплексного числа $z = R*(cos(\phi) + i*sin(\phi))$ существует ровно $n$ различных $\varphi$ таких, что $R*(cos(\phi) + i*sin(\phi)) = R*(cos(n\varphi) + i*sin(n\varphi))$. Помимо очевидного $\varphi = \frac{\phi}{n}$, $\varphi$ может принимать значения $\frac{\phi}{n} + \frac{2\pi k}{n}, k = 0,1,..n-1$
Итак, корни из $z=R*(cos(\phi) + i*sin(\phi))$ имеют вид:
$$\sqrt[n]{R}*(cos(\frac{\phi+2\pi k}{n}) + i*sin(\frac{\phi+2\pi k}{n})), k = 0,1,..n-1$$
Представление множеств комплексных чисел на плоскости.
Комплексному числу $z = a + bi$ можно сопоставить точку (a,b) на плоскости. Тогда первая координата точки будет действительной, а вторая - мнимой частью $z$. Соответствующие координатные оси называются действительной и мнимой осями.
Иллюстрации
Произведение комплексных чисел a и b
Щёлкните мышкой чтобы изменить положение a
Корни пятой степени из комплексного числа z