Отображения

Понятие отображения

Практически каждый объект который мы будем изучать, либо сам является отображением, либо связан с другими при помощи отображений.

Отображением(функцией) $f$ с областью определения $X$ и областью значений $Y$ называется правило, по которому каждому элементу $x \in X$ ставится в соответствие элемент $y \in Y$. Обозначается как $f: X \rightarrow Y$.

Это правило можно задать многими способами, лишь бы оно однозначно сопоставляло каждому элементу из X элемент из Y. Если множество X конечно, можно задать отображение при помощи таблицы. Если нет - можно описать действия которые нужно выполнить, чтобы получить y, зная x. Например, написать f(x) = x + 1.

Образом отображения $f: X \rightarrow Y$ называется множество $Im f = \{y \in Y | y = f(x), x \in X\}$

В наших обозначениях область значений и образ функции это, вообще говоря, разные множества, при этом $Im f \subseteq Y$. Говоря иначе - область значений это множество в котором могут содержаться значения функции, а образ это все возможные её значения.

Два отображения $f: X \rightarrow Y$ и $g: U \rightarrow V$ называются равными если $X=U$ и $Y=V$ и $(\forall x \in X) f(x) = g(x)$

Сюръекция, инъекция и биекция.

Отображение $f: X \rightarrow Y$ называется инъективным, если из $x \ne x'$ следует что $f(x) \ne f(x')$
Отображение $f: X \rightarrow Y$ называется сюръективным, если $Im f = Y$
Отображение $f: X \rightarrow Y$ называется биективным, если оно сюръективно и инъективно.

Произведение отображений. Ассоциативность произведения отображений.

Композицией (произведением) двух отображений $g: U \rightarrow V$ и $f: V \rightarrow W$ называется отображение $f \circ g : U \rightarrow W$, определенное условием $$(f \circ g)(u) = f(g(u)), \forall u \in U$$
Операция композиции отображений ассоциативна. Для трёх отображений $h:W \rightarrow X$ , $g:X \rightarrow Y$, $f:Y \rightarrow Z$ верно: $$f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$$

В результате композиций, в левой и правой части равенства получается два отображения. Для доказательства равенства двух отображений нужно доказать равенство исходных множеств, равенство конечных множеств, и то что условие $$(f \circ (g \circ h)) (x) = ((f \circ g) \circ h) (x) $$ выполняется для любого x.

По определению композиции в левой части исходного равенства стоят отображения $(g \circ h) : W \rightarrow Y$ и $(f \circ (g \circ h)) : W \rightarrow Z $.
Аналогично, в правой части стоят отображения $(f \circ g) : X \rightarrow Z$ и $(f \circ g) \circ h : W \rightarrow Z$. Равенство множеств показано.

Пользуясь тем же определением получим теперь цепочку равенств $(f \circ (g \circ h)) (x) = f((g \circ h) (x)) = f(g(h(x))) = (f \circ g) (h(x)) = ((f \circ g) \circ h) (x)$ которая выполняется для любого x.

Обратное отображение. Условие существования обратного отображения.

Отображение $e_X: X \rightarrow X$ называется единичным (тождественным) если оно переводит каждый элемент из $X$ в себя. Обозначается $e_X$.
Отображение $f^{-1}$ называется обратным к отображению $f:X \rightarrow Y $, если $f^{-1}: Y \rightarrow X$ и $f^{-1} \circ f = f \circ f^{-1} = e_X$.
Отображение имеет обратное тогда и только тогда, когда оно взаимно однозначно (биективно).

Пусть отображение $f:X \rightarrow Y$ имеет обратное отображение. Докажем что это инъекция от противного. Пусть $x \ne x'$, но $f(x) = f(x')$. Но тогда $f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(f(x'))$, то есть $e_X(x) = e_X(x')$ и $x = x'$. Противоречие. Значит $f$ это инъекция. Теперь, поскольку $f^{-1}$ определена на всём $Y$, $f$ это сюръекция. Значит $f$ это биекция.

Пусть теперь $f:X \rightarrow Y$ - биекция. Значит это инъекция и сюръекция. Значит для всякого $y$ существует и единственнен $x$, такой что $f(x) = y$. Поставим каждому $y$ в соответствие такой $x$, получим отображение $g$. Поскольку $g(f(x)) = x$ и $f(g(y))=y$, $g = f^{-1}$

Отображение и мощность множества.

Мощность множества A равна мощности множества B, когда между A и B существует биекция.

Для двух конечных множеств равенство мощностей(существование биекции) означает, что эти два множества имеют одинаковое количество элементов.

Множество $X$ называется счётным, если существует биекция $f:X \rightarrow \mathbb{N}$ (оно равномощно $\mathbb{N}$).

Всякое множество является либо конечным, либо бесконечным. Бесконечные множества, в свою очередь, делятся на счётные (как $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}$) и несчётные (как $\mathbb{R}$)

Остались вопросы? Нашли опечатку? Напишите комментарий в moodle.